Уравнения с дробями правила решения

• Строки и параграфы переносятся автоматически.

Подробнее о форматировании

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают. Если в дроби нет деления на переменную (то есть на , и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:

Умеешь такие решать? – конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное, тема-то 5-ого или 6-ого класса. Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

;

Какой наименьший общий знаменатель будет? Правильно ! Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на , а второго на , этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число. А не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

,

А теперь делим обе части на :

Тут все просто? Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет, , так , ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим , значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).

А вот еще одно уравнение . Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную , а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение. Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет .

Важный момент!!! В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель .

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель! Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

.

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

(чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения).

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

.

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот). Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример:

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Например:

Перегруппируем:

Раскроем скобки в каждой группе:

Сделаем замену:

Тогда: .

Решив квадратное уравнение, получим:

Обратная замена:

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Пример уравнения для 4 класса со знаком плюс.

Х + 320 =80*7

Самым первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? Тут мы можем выполнить умножение. Умножаем 80*7 получаем 560. Переписываем ещё раз.

Х + 320 = 560 (выделила цифры зеленым маркером).

Теперь мы видим, что у нас есть х (неизвестное) и числа, только не рядом, а разделяет их знак равно. Х в одну сторону, цифры в другую.

Х = 560 – 320. Минус ставим потому что при переносе числа, знак что перед ним меняется на противоположный. Выполняем вычитание.

Х = 240 Обязательно делаем проверку. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.

240 + 320 = 80*7 Складываем числа, с другой стороны умножаем.

560 = 560.

Всё верно! Значит мы решили уравнение правильно!

Пример уравнения для 4 класса со знаком минус.

Х – 180 = 240/3

Первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? В данном примере мы можем разделить. Производим деление 240 разделить на 3 получаем 80. Переписываем уравнение ещё раз.

Х – 180 = 80 (выделила цифры зеленым маркером).

Теперь мы видим, что у нас есть х (неизвестное) и числа, только не рядом, а разделяет их знак равно. Х в одну сторону, цифры в другую.

Х = 80 + 180 Знак плюс ставим потому что при переносе числа, знак что был перед цифрой меняется на противоположный. Считаем.

Х = 260 Выполняем проверочную работу. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.

Как решать уравнения с дробями правило 4 класс

Пример уравнения для 4 класса со знаком минус, где х в середине, другими словами пример уравнения, где х отрицательный в середине.

400 – х = 275 + 25 Складываем числа.

400 – х = 300 Числа разделены знаком равенства, х является отрицательным. Чтобы сделать его положительным, нам нужно перенести его через знак равно, собираем числа в одной стороне, х в другой.

400 – 300 = х Цифра 300 была положительной, при переносе в другую сторону поменяла знак и стал минус. Считаем.

100 = х

Т.к не принято так писать, а первым в уравнении должен быть х, просто меняем их местами.

Для этого: — найти общий знаменатель; — определить дополнительные множители для каждого члена уравнения; — умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить); — перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую от знака равенства, получив равносильное равенство; — привести подобные члены; В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P=Q и P−Q=0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

Рациональные уравнения:

x=1, 2·x−12·x2·y·z3=0, xx2 3·x-1=2 27·x-a·(x 2), 12 34-12x-1=3.

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

3·x 2=0 и (x y)·(3·x2−1) x=−y 0,5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1x-1=x3 и x:(5·x3 y2)=3:(x−1):5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p(x)q(x)=0 , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p(x)q(x)=0 положено следующее утверждение: числовая дробь uv, где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p(x)q(x)=0 может быть сведено в выполнению двух условий: p(x)=0 и q(x)≠0. На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p(x)q(x)=0 :

• находим решение целого рационального уравнения p(x)=0;
• проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q(x)≠0.

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Найдем корни уравнения 3·x-25·x2-2=0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p(x)q(x)=0, в котором p(x)=3·x−2, q(x)=5·x2−2=0. Приступим к решению линейного уравнения 3·x−2=0. Корнем этого уравнения будет x=23.

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5·x2−2≠0. Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5·232-2=5·49-2=209-2=29≠0.

Условие выполняется. Это значит, что x=23 является корнем исходного уравнения.

Ответ:23.

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p(x)q(x)=0. Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p(x)q(x)=0 :

• решаем уравнение p(x)=0;
• находим область допустимых значений переменной x;
• берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x, в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

• сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
• затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Как в пятом и шестом, так же и в седьмом классе, дроби в основном складывают, вычитают, умножают и делят. Есть еще сокращение и сравнение. Рациональные дроби также называют алгебраическими.

Сложение и вычитание.

К примеру, b/3 c/3. Это сумма рациональных или алгебраических дробей. Решением будет: b c/3.

Еще пара примеров.

Умножение и деление.

Так же как и с обыкновенными дробями, умножать будем числитель на числитель, и знам. на знаменатель. Очень важно обратить внимание на то, что вы умножаете многочлены, поэтому каждый числитель и знаменатель лучше взять в скобки. Так вы сможете избежать ненужных ошибок.

И деление выполняется в точности также как и в обык.дробях. Первую дробь оставьте на месте без изменений, поменяйте частное на умножение, вторую дробь переверните.

Разберем сразу примеры, так как правила уже обговорены выше.

В примере выше требуется разделить алгебраические дроби, содержащие выражения со степенью. Здесь важно вспомнить, что при сокращении степеней мы вычитаем из большей степени меньшую.

Первую дробь мы оставили без изменений, вторую перевернули, заменив действие на умножение. Теперь ищем, что можно сократить. Сначала смотри на числовые коэффициенты. Сокращаем 7 и 35, 9 и 18. Затем сокращаем буквенную часть.

Для удобства возьмите каждый многочлен в скобки. Мы видим, что сразу можно сократить скобку (7-х). Многие допускают ошибку, считая что (a-b) и (a b) сократимы, это большая ошибка. Ведь к примеру, 5-2 и 5 2 совершенно разные выражения.

1. , учитель математики

Разделы: Класс: 8 Цели урока: Обучающая:

1. обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
2. формирование понятия дробных рационального уравнения;
3. рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
4. рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
5. проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

1. развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
2. развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
3. развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
4. развитие критического мышления;
5. развитие навыков исследовательской работы.

Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите поступить в физико-математическую школу.

Математика 6 класс. Правила, задачи, примеры

Уравнением называется равенство, в котором имеется неизвестный член — x.

Его значение и надо найти. Неизвестная величина называется корнем уравнения. Решить уравнение означает найти его корень, а для этого нужно знать свойства уравнений.

Уравнения за 5 класс несложные, но если вы научитесь их правильно решать, у вас не будет проблем с ними и в дальнейшем.

При изменении обеих частей уравнения на одинаковую величину оно продолжает оставаться тем же уравнением с тем же корнем. Предположим, у нас есть уравнение вида:

1. a + x = b — здесь a и b — числа, а x — неизвестный член уравнения.

Если мы к обеим частям уравнения прибавим (или вычтем из них) величину с, оно не изменится:

1. a + x + с = b + с
2. a + x — с = b — с.

Воспользуемся этим свойством для решения уравнения:

1. 37+х=51

1. Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

2. Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

3. Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

4. Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

• Строки и параграфы переносятся автоматически.

Подробнее о форматировании

• Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.
• Находим Наибольший Общий Делитель и Наименьшее Общее Кратное!
• С днем знаний 2017!
• Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства.
• Решение логарифмов. Свойства логарифмов.

Уравнения с дробями и иксами 5 класс

Преобразования равносильны, если получается новое уравнение, причем корни будут такими же, как в изначальном выражении.

Деление или умножение уравнения на любое, отличное от нуля число, является равносильным преобразованием. Перенос параметров уравнения через знак равенства в ту или иную часть — тоже тождественное преобразование.

• Определение
• Правила составления определения
• Математические предложения
• Учимся доказывать теорему
• Классификация понятий
• Учимся решать задачу

• Равенство, тождество, уравнение
• Равносильные уравнения
• Приемы преобразования уравнений
• Решения иррациональных уравнений
• Уравнения с параметром

• Основные свойства неравенств
• Методы решения неравенств
• Метод подстановки
• Решение иррациональных неравенств
• Решение неравенств с модулем

• Формулы и свойства логарифмов
• Таблица интегралов
• Тригонометрические формулы
• Таблица степеней
• Формулы и свойства степеней
• Формулы площади
• Таблица Лапласа
• Формулы объема

Решение дробных уравнений с двумя неизвестными

• Как решить уравнение с неизвестным в дроби
• Линейные уравнения в 6 классе Математика
• Уравнения с дробями Математика
• Математика 6 класс. РАСКРЫТИЕ СКОБОК. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.
• Самостоятельные работы 6 класс, по математике по Виленкину.
• Математика 6 класс. Правила. Задания. Решения

Перемножим модули множителей и перед результатом поставим знак «минус». А) -10·0,35=-3,5; б) 4,1·(-100)=-410; в) 2,5·(-0,4)=-1; г) -0,05·200=-10. Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5.

Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую. Рекомендую посмотреть весь список материалов и изучать последовательно.*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат.

Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую. Рекомендую посмотреть весь список материалов и изучать последовательно.*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат.Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие.После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие.

Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Поэтому лучше воспользоваться их помощью: После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.Для того, чтобы усвоить материал этого раздела Вам необходимо вспомнить все предыдущие определения и правила этого параграфа.Вы подошли к одному из самых важных разделов – к решению уравнений, от того, как Вы разберетесь с алгоритмами решений уравнений, будет зависеть не только Ваша тематическая оценка, но и оценка по контрольным работам за четверть и за год.В контрольных обязательно будут задачи с каким-то неизвестным, решить которые необходимо с помощью уравнения. А если есть такое уравнение 3х 5=20, как его решить?

Зная правила нахождения неизвестного слагаемого, Вы уже можете решать уравнения вида х 3=5. Следуя этому же правилу, получаем 3х 5=20, 3х=20-5.Вы заметили, что при переносе числа пять из левой части уравнения (то есть слева от знака равно) в правую часть уравнения положительное число пять стало отрицательным минус пять? Потому что если мы к правой и левой частям уравнения добавим одинаковое число, то эти части не изменятся. Чтобы избавиться от лишних слагаемых в той части, где есть слагаемое с неизвестным.

Получается, что 3х 5-5=20-5, значит 3х=15, а х=15:3=5.Из решения этого уравнения мы можем сформулировать два правила: 1.Если к двум частям уравнения добавить (либо отнять) одинаковое число, то полученное уравнение будет одинаковым с исходным и иметь точно такой же корень.

При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую, число меняет свой знак на противоположный (было с минусом – станет с плюсом, было с плюсом – стало с минусом).

Немного изменив вышеуказанные утверждения, можно решить и такой пример: 1/5*х=20. Нужно 20 поделить на 1/5 либо левую и правую часть уравнения помножить на 5, чтобы избавиться от дроби в левой части (вспомнили взаимно обратные числа и чему равно их произведение — единице).Получаем: х= 20:1/5=20*5/1=100 либо 1/5*х*5=20*5, х=100. Как видим корень уравнения одинаковый и в первом и во втором случаях. Давайте проверим: 1/5*х*0=20*0, вы уже увидели, что число 100 – это единственный корень данного уравнения, а если мы обе части помножим на нуль, тогда слева и справа будет нуль, а х может быть какое угодно число, ведь помножив его на нуль, мы все равно получим нуль!Значит, если обе части уравнения помножить либо поделить на одинаковое число, отличное от нуля, уравнение будет иметь те же самые корни, что и исходное. Таким образом, изменились корни уравнения, а это недопустимо!Поэтому в уравнениях умножать части на нуль нельзя.Применение уравнений широко распространено в нашей жизни.

Дробь — это число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы.Знаменатель показывает, на сколько равных частей мы разделили единицу, а числитель показывает, сколько частей мы берем. Ребята делят шоколадку на три части и поэтому каждому достанется $\frac$ целой шоколадки.Пример 1: Бекки, Мерри и Джон хотят разделить шоколадку. Девочек двое, и поэтому им достанется две части поделенной шоколадки, а на языке математики им достанется $\frac$ шоколадки.

Пример 2: Сколько солдат в желтой форме из всех солдат?Пример: $\frac \div \frac = \frac \times \frac = \frac = \frac$ Свойство I: Все окрашенные в красный цвет части кругов являются половиной кругов и они равны $\frac, \frac$ и $\frac$.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями. Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. Например, как решить дробное уравнение: x/5 4=9 Умножаем обе части на 5.Например, требуется решить простое уравнение x/b c = d. Получаем: х 20=45 x=45-20=25 Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе: b/x c = d Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом.Следует только учесть следующие моменты: Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ.

Большая часть учебников по математике для 5 класса содержит минимальное количество материала по линейным уравнениям, поскольку тема является несложной. Однако у некоторых учеников, которые не понимают материал или пропустили занятие в школе по какой-либо причине, возникают сложности.

Уравнение — это равенство с неизвестной величиной, принимающей значения, которые удовлетворяют искомому выражению. Иными словами, существует тождество: «2x=8». Оно состоит из константы «2» при переменной «x» и результата выполнения математической операции.

При решении любой задачи в математике существует определенная методика, позволяющая легко и быстро найти неизвестные компоненты или параметры. Как правило, результат записывается в буквенной или числовой форме. В первом случае решением является определенное выражение в общем виде. В нем присутствуют цифры и буквы.

Когда в условии необходимо вычислить некоторые параметры, следует подставлять числовые значения в выражения для их нахождения. При решении уравнений линейного вида нужно применить следующий алгоритм:

• ФГОС. Алгебра. Рабочая программа. 7 класс. Предметная линия учебников А.Г. Мордковича.

• Рабочая программа алгебра 8 класс

• Рабочая программа по математике ФГОС 7 класс Никольский

• Рабочая программа 7 класс алгебра ФГОС 4 часа

• Рабочая программа ро алгебре ФГОС

Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Поэтому лучше воспользоваться их помощью: После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями. Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. Например, как решить дробное уравнение: x/5 4=9 Умножаем обе части на 5.Например, требуется решить простое уравнение x/b c = d. Получаем: х 20=45 x=45-20=25 Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе: b/x c = d Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом.

Следует только учесть следующие моменты: Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ.Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Следует только учесть следующие моменты: Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ.Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.Например, требуется решить дробное уравнение: 1/x 2 = 5 Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е.ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х 1 2x = 5х И решаем обычное уравнение 5x – 2х = 1 3x = 1 х = 1/3 Ответ: х = 1/3 Решим уравнение посложнее: Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Потому что не мало профессий, где приходится решать уравнения с дробями лишь для того, чтобы изготовить какую-то деталь.И когда человек ошибается в решении, то получается брак. Каким образом решаются уравнения с дробями, если есть всего несколько величин и нет нужды сильно их раздрабливать, то как тогда понять на сколько же поделить в данном случае? Во втором примере я согласен, все предельно понятно, а вот в первом если провести проверку мне кажется не верное решение.Так что ктобы не говорил, а программа обучающая нужна всем и всегда. Каким образом решаются уравнения с дробями, если есть всего несколько величин и нет нужды сильно их раздрабливать, то как тогда понять на сколько же поделить в данном случае? Можете на примере проверки показать, что это решение правильное, я наверное просто не понял.Смотрите этот способ решения: например: 5x 1/6-x 3/4=3 сначала находим общий знаменатель всех, потом домножаем каждый числитель на общий знаменатель.

И не забудьте умножить ответ на знаменатель: 12(5x 1)/6-12(x 3)/4=36 дальше сокращаем числитель со знаменателем: 2(5x 1)/1-3(x 3)/1=36; перемножаем: 10x 2-3x 9=36 перекидываем числа без икса в правую часть после равно, а числа с иксом в левую перед равно: 10x-3x=36-2-9 подсчитываем: 7x=25; x=3 целых 4/7 и наше уравнение решено. Произведения крайних членов уравнения равны произведению средних членов. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения.

Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями.Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники?

Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре?В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.Вы можете посмотреть теорию и общие методы решения уравнений и неравенств с модулями.Примеры подробного решения В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями.

Воспользуемся шагами описанными выше и найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей и далее преобразуем: .НОК(18, 4)=36, дополнительный множитель первой дроби , доп. Решение уравнений с одной переменной на обеих сторонах уравнения Решение системы уравнений с двумя переменными Решение уравнений В простых алгебраических уравнениях переменная находится только на одной стороне уравнения, а вот в более сложных уравнениях переменные могут находиться на обеих сторонах уравнения.

Решая такие уравнения, всегда помните, что любая операция, которая выполняется на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.С помощью этого правила переменные можно переносить с одной стороны уравнения на другую, чтобы изолировать их и вычислить их значения.

Умножение крест-накрест Наименьший общий знаменатель (НОЗ) Если вам дано выражение с дробями с переменной в числителе или в знаменателе, то такое выражение называется рациональным уравнением.Рациональное уравнение — любое уравнение, которое включает в себя не менее 1 рационального выражения.Решаются рациональные уравнения так же, как любые уравнения: выполняются те же операции с обеих сторон уравнения, пока переменная не обособляется на одной стороне уравнения.Тем не менее, есть 2 метода решения рациональных уравнений.Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное оказывается в числителе одной или нескольких дробей. В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны никакие преобразования. Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь.

Уравнения с десятичными дробями

В результате обучения учащиеся узнают:

• Термины «переменная», «формула», «уравнение».
• Основные законы алгебры.
• Основные принципы и приёмы решения уравнений.
• Понятия «доля», «дробь», «делитель», «процент», «степень».

В ходе обучения вырабатываются следующие навыки:

• Запись математических соотношений в виде формул.
• Применение законов алгебры для преобразования выражений и для устного счёта.
• Решение задач по действиям и с помощью уравнений, выбор наиболее эффективного пути решения задачи.

В ходе обучения ученики получают представление:

• О важнейших свойствах натуральных чисел.
• О признаках делимости.
• О свойствах степеней.

Для тех, кто еще не учится в АИШ:

• Тест по математике

Для тех, кто учится в АИШ, но еще не учится на направлении «Математика»:

• Тест по математике

Для уже обучающихся на направлении «Математика»:

• Прикладная математика – промежуточная аттестация не менее 60 баллов или итоговая оценка не ниже «удовлетворительно»

1. Чтение и понимание условия задачи.
2. Выполнение арифметических действий с натуральными числами в пределах 1000.
3. Умение находить закономерности в числовых рядах.
4. Использование переменных.
5. Запись решения задачи в виде формулы.
6. Решение уравнений (на уровне 5 класса средней школы).
7. Составление задачи, решаемой по заданной формуле.

Задание выполняется письменно, проверяется преподавателем. По результатам выполнения задания необходимо набрать не менее 60 баллов из 100.

Занятие 1

Введение

• Вход в дистанционный курс, знакомство с его структурой
• Входной тест
• Понятия переменная, формула, уравнение, их взаимосвязь.

Законы умножения, их применение

• Переместительный, сочетательный, распределительный законы.
• Решение задач (преобразование выражений, рационализация вычислений)

Занятие 2

Решение задач составлением уравнения

• От задачи к уравнению: последовательность действий
• Практика решения задач: простые и сложные задачи двумя способами

Занятие 3

Использование законов умножения для рационализации вычислений

• Примеры
• Упражнения

Задачи на движение: от простого к сложному

• Основные формулы, приёмы, примеры
• Практикум по решению задач: один объект, несколько объектов

Занятие 4

Задачи на движение: от простого к сложному (продолжение)

• Практикум по решению задач: относительная скорость, средняя скорость

Проверочная работа: решение задач разных типов

Занятие 5

Дроби

• Доли и дроби
• Действия с дробями с одинаковым знаменателем
• Практикум по решению задач: части и целое

Занятие 6

Свойства натуральных чисел

• Делимость, делители. Простые числа.
• Признаки делимости.
• НОД и НОК, способы их нахождения

Действия с дробями

• Действия с дробями с разными знаменателями

Занятие 7

• Практикум по решению задач: части и целое, усложнённые задачи
• «Олимпиадные» задачи, основанные на свойствах натуральных чисел.

Занятие 8

Дроби и пропорции

• Уравнения с дробями. Их решение.
• Пропорции. Их свойства.
• Практикум по решению задач: пропорции, задачи, сводящиеся к уравнению с дробями.

Занятие 9

Проценты

• Абсолютные и относительные соотношения.
• Проценты.
• Практикум по решению задач: задачи на проценты

Занятие 10

Сложные уравнения

• Избавление от дробных составляющих в уравнении.
• Практикум по решению уравнений.

Проверочная работа: решение задач и уравнений разных типов

Занятие 11

Степень

• Понятие степени
• Основные свойства степеней
• Задачи, сводящиеся к понятию степень.

Повторение и обобщение

• Общий алгоритм анализа условия задачи
• Практикум по решению задач и уравнений разных типов

Занятие 12

Практикум: повторение

• Практикум по решению уравнений.
• Практикум по решению задач с помощью уравнений.

Занятие 13

Подведение итогов курса

• Итоговый тест.
• Кто, где и как учится математике

Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором – значение переменной у.

Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения.

Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.

Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.