Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Правила сложения и умножения отрицательных и положительных чисел». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.
Содержание:
Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−3) · (−6) = +18 = 18
- 2 · 3 = 6
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «−».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−0,3) · 0,5 = −0,15
- 1,2 · (−7) = −8,4
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
- 0 · a = 0
- a · 0 = 0
- a · 1 = a
Примеры:
- 0 · (−3) = 0
- 0,4 · 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица «−1».
В этой теме часто встречается понятие правила знаков, которое изучается в курсе математики 6 класса. Стоит подробнее остановится на этом вопросе.
На самом деле правило знаков это производная от правил умножения отрицательных и положительных чисел. Например:
6-(-6)=6+(-1*-1*6)=6+6 – но расписывать так каждый раз слишком долго, поэтому проще запомнить один раз, что умножение минуса на минус и плюса на плюс дает знак плюс. А умножение плюса на минус – минус. Этим правило просто запомнить, чтобы не мучиться каждый раз с вынесением множителей.
Сложение и вычитание целых чисел
Вычитание может происходить между:
- Двумя отрицательными числами. В этом случае «минус на минус» дает плюс. После этого, мы увидим выражение из предыдущего пункта, то есть сложение отрицательного числа с положительным. Нужно поменять числа местами и выполнить вычитание.
- Отрицательным и положительным числом. В этом случае получается та же ситуация, что при сложении двух отрицательных чисел. Так как, минус на плюс дает минус. Получившиеся числа складываются по модулю, а потом к результату возвращают минус.
- Положительным и отрицательным числом. Этот случай больше прочих любим составителями примеров. В результате преобразования по правилу знаков: «минус на минус» дает плюс. Значит, получится сложение двух положительных чисел.
Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.
Рассмотрим следующее простейшее выражение
1 + 3
Значение данного выражения равно 4
1 + 3 = 4
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:
- модуль делимого разделить на модуль делителя;
- перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
- (−9) : (−3) = +3
- 6 : 3 = 2
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
- модуль делимого разделить на модуль делителя;
- перед результатом поставить знак «−».
Примеры деления чисел с разными знаками:
- (−5) : 2 = −2,5
- 28 : (−2) = −14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Умножение отрицательных чисел, правило, примеры.
Разделим число «−5» на «6» и число «5» на «−6».
Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.
Результат сложения двух или более чисел называется суммой, а сами числа — слагаемыми.
Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.
От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.
Результат действия называется разностью. Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.
Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.
Например, —8+3=—(8-3)=—5; или -7+45=+(45-7)=+38=38.
Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.
Пример.
| — | 2 | + (- | 1 | ) | . |
| 5 | 4 |
Приведём дроби к общему знаменателю:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | . |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:
| -8 | + | -5 | = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Таким образом:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | = |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
| = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 |
Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.
Пример.
| — | 5 | — (- | 11 | ) = | — | 5 | + (+ | 11 | ) = |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
| = | — | 5 | + | 11 | = | -5 + 11 | = | 6 | . |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.
Комбинаторика: основные правила и формулы.
— Мы изучили тему: «Положительные и отрицательные числа и действия с ними – сложение, вычитание, умножение и деление» и написали контрольную работу. К сожалению, не все учащиеся выполнили контрольную работу на «5». В ходе контрольной работы получено «5» — 4 ; «4» — 9; «3» — 7; «2» — 3. Статистика результатов контрольной работы говорит о том, что у некоторых учащихся еще остались невыясненные вопросы по данной теме. На сегодняшнем уроке, который пройдет в необычной форме — форме пресс-конференции, мы постараемся ответить на все вопросы, вызвавшие трудности при решении контрольной работы..
Итак, сегодня вы не просто ученики 6 класса, а сотрудники научно-исследовательского института, изучающие проблему положительных и отрицательных чисел, а некоторые из вас – ведущие журналисты известных изданий периодической печати.
В гости к нам пришли: (ученики встают и представляются )
— Ф.И _____- корреспондент физико-математического журнала «Квант»
— Ф.И. _____- корреспондент журнала «Вокруг света»
— Ф.И. _____- корреспондент журнала «Наука и техника»
— Ф.И. _____- корреспондент журнала «Очевидное – невероятное»
— Ф.И. _____- корреспондент газеты «Абитуриент»
— Ф.И. _____- корреспондент газеты «Тайны 20 века»
1. Устные упражнения
Учитель: 1 вопрос задает корреспондент журнала “Квант”
- Какие теоретические основы лежат в изучении данной темы?
Учитель: Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны вспомнить и рассказать определения и правила, необходимые для работы с положительными и отрицательными числами.
(ученики перечисляют и формулируют изученные правила и определения)
- Определение положительных и отрицательных чисел,
- Определение противоположных чисел,
- Модуль числа,
- Правила сравнения отрицательных чисел (+ и -; 0 и -; 0 и +; — и –; универсальный способ сравнения чисел),
- Сложение отрицательных чисел,
- Сложение чисел с разными знаками,
- Вычитание отрицательных чисел – вычитание заменяем сложением с числом, противоположным вычитаемому.
- Умножение чисел, деление чисел с разными знаками,
- Деление отрицательных чисел.
2. Графический диктант
Учитель: А теперь проверим, все ли хорошо знают эти правила.
(проверка проходит в форме графического диктанта)
ГРАФИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ ( в двух вариантах – 1 вариант — вопросы читает учитель, 2 вариант (для более сильных учащихся) – по карточкам)
Графический диктант №1
- Сумма любых двух противоположных чисел равна нулю.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль больше.
- Модуль любого числа всегда больше отрицательного числа.
- При сложении отрицательных чисел модули складываются
- Сумма двух отрицательных чисел – число положительное
- Целые числа состоят их положительных чисел и им противоположных.
- Если модули двух различных чисел равны, то сумма этих чисел равна нулю.
- При сложении положительного числа с отрицательным числом, число уменьшается.
- При умножении четного числа отрицательных множителей, произведение получается положительным.
- Если ׀а׀ = ׀ в׀ , то а=в
Для проверки переписать ответы на приготовленный листок и сдать, а результаты проверить самостоятельно с помощью шаблона, записанного на доске. У кого большое количество ошибок – выдать лист с ответами
Приложение 1
3.Устные упражнения
- Корреспондент журнала “Наука и техника” – В каких конкретных заданиях используются правила действий с отрицательными числами?
Учитель: Чтобы ознакомить наших гостей изучением и применением конкретно каких знаний мы работаем, я предлагаю решить следующую задачу: Распределить выражения, записанные на карточках, не выполняя вычислений, по группам – отрицательные и положительные числа.
(Карточки разложены на столе, ученики по очереди выходят, выбирают карточку, говорят в какую группу отнести ответ и почему. На доске на плакате написано “ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА”, “ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА”, “0” на карточках прикреплен скотч, ученики приклеивают к доске рядом с нужным плакатом).
1. –66 : 9, 2. –4,5 . (-4,5), 3. 7,3 . (-8), 4. 1 . (-3,5) . ( -3,8), 5 –4,5 . –4,5, 6. –11 . (-18) . 142 . (-15), 7. –548,3 – (-305,4), 8. –8 + (-4), 9. –(-101) + 3, 10. –30 – (-30), 11. –115 + 115, 12. –31 – 12 + (-22), 13. 15 (-1), 14. 85 – (-85)
Приложение 2
Одновременно дается задание еще двум ученикам: Из чисел данного ряда составить верные числовые равенства: 13, -5, 1, -8, 3, -3, 4.
4. Индивидуальная работа у доски
- Корреспондент газеты «Абитуриент» — Возможно, вопрос наш не совсем соответствует изучаемой сейчас вами темы, но не смогли бы вы на него ответить. В заданиях экзаменационных билетов для 9 класса есть такая задача:
Весной на рынке стоимость огурцов каждую неделю снижается на 10%. Сначала недели цена килограмма огурцов была равна 50 рублей. Сколько будет стоить килограммогурцов через 17 дней?
(у доски 1 ученик решает задачу самостоятельно)
5. Письменная работа (дифференцировано)
- Корреспондент журнала «Вокруг света» – Кто придумал правила сложения и вычитанияположительных и отрицательных чисел?
Учитель: Чтобы ответить на этот вопрос, нужно верно решить следующие задания, ответ заменить соответствующей буквой и прочитать имена ученых.
( класс делится на две группы, одна группа работает у доски – более слабые ученики, допустившие ошибки в контрольной работе, 2 группа – сильные учащиеся, выполняют задание по карточкам)
Группа 1.
Вычислите:
Умножение и деление отрицательных чисел
Учитель: А теперь, когда вопросы исчерпаны, давайте подведем итоги.
Знания, которые усваивает человек, открывают ему с дверь к другим, новым знаниям и достижениям. И в зависимости от того, какие это знания – трудные или легкие, интересные или не очень, можно дать определение и той двери, которая перед нами открывается. – тяжелая металлическая или наоборот, невесомая, легкая из картона. Будем считать, что действия с отрицательными числами мы изучили. Трудно ли вам было, легко ли? Как для себя вы оцените эти знания, подберите наиболее соответствующее вашим ощущениям понятие – деревянная дверь, стеклянная дверь, металлическая дверь, потайная дверь, вращающаяся дверь, раздвижная дверь, салонная дверь, автоматически закрывающаяся дверь, входная дверь, топочная дверца печки, промежуточная дверь, передняя дверь, дверь черного хода, врата небесные, запасной выход, дверь с глазком, бронированная дверь, дверь в подвал, решетчатая дверь, зеркальная дверь, служебный вход, двери ада.
Приложение 3
Сложение положительных рациональных чисел сводится к сложение обыкновенных дробей. Может быть два варианта:
- Если у положительных рациональных чисел разные знаменатели, то ищем общий знаменатель.
- Если у положительных рациональных чисел одинаковые знаменатели, то переходим к сложению числителей, а знаменатель переписываем.
Для умножения отрицательных чисел используется все то же правило знаков. Рассмотрим несколько возможных случаев использования правила знаков:
- Если отрицательное число умножается на отрицательное, то результатом будет положительное число;
- Если отрицательное число умножается на положительное, то результатом будет отрицательное число;
- Если положительное число умножается на отрицательное, то результатом будет отрицательное число.
Математика 6 класс. Правила, задачи, примеры
Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.
Рассмотрим подробней основные правила знаков.
Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».
Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».
Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.
Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Сложение.
Вычитание. Умножение. Деление.
Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
П р и м е р ы : / – 5 / = 5, / 7 / = 7, / 0 / = 0.
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные
величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак
числа с большей абсолютной величиной.
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.
( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;
( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;
( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;
( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;
Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):
При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.
Умножение положительных и отрицательных чисел
Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.
Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.
Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.
Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.
Теперь поменяем местами сомножители:
В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:
А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:
где a и b — сомножители
Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
- Тема: Деление положительных и отрицательных чисел.
- Цели:
- Образовательные: отработка умений и навыков при сложении, вычитании, умножении и делении чисел с разными знаками путём применения разнообразных форм упражнений (решении примеров, уравнений, упрощении выражений).
- Развивающие: формировать навыки самостоятельной работы; развивать логическое мышление, вычислительные навыки; расширение кругозора.
- Воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету; воспитывать культуру труда, математической речи, активность, самостоятельность, культуру общения.
- Урок: Деление положительных и отрицательных чисел.
- Ход урока:
1. Организационный момент.
- Приветствие учеников.
- Проверь-ка, дружок,
- Ты готов начать урок?
- Все ль на месте,
- Все в порядке,
- Ручка, книжка и тетрадка?
- Все ли правильно сидят?
- Все ль внимательно глядят?
2. Мотивация урока.
Едва ли не самым тёмным для учащихся местом в математике является учение о действиях с отрицательными числами. И это не потому, что устанавливаемые правила действий сложны. Напротив, они очень просты.
Но тёмными остаются два вопроса: 1) Зачем вводятся отрицательные числа? 2) Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по иным? В частности, очень плохо понимается, почему при умножении и делении отрицательного числа на отрицательное результат есть положительное число.
Все эти вопросы возникают потому, что с отрицательными числами учащихся обычно знакомят до того, как они начали решать уравнения, и больше не возвращаются к правилам действий с отрицательными числами.
Между тем лишь в связи с решением уравнений выясняется ответ на оба поставленных выше вопроса. Исторически отрицательные числа возникли именно в этой связи.
Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах.
Долгое время уравнения изучались без помощи отрицательных чисел; при этом возникали многие неудобства; для устранения этих неудобств и были введены отрицательные числа. При этом в течение долгого времени многие выдающиеся математики отказывались вводить их в употребление или вводили с большой неохотой. Ещё Декарт (1596–1650) называл отрицательные числа “ложными числами”.
Таким примерно образом и были введены отрицательные числа; цель этого — рационализация вычислительного процесса; правила действий над отрицательными числами явились результатом введения этого рационализаторского приёма в вычислительную практику.
Многолетние и многообразные испытания показали, что этот приём обладаем огромной эффективностью и находит себе блестящие применения во всех областях науки и техники. Всюду введение отрицательных чисел позволяет охватить единым правилом такие явления, для которых нужно было бы выдумывать десятки правил, если ограничиться числами положительными.
Итак, на два выше поставленных вопроса нужно ответить следующим образом: 1) отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникших прежде всего при решении уравнений; 2) правила действий над ними вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли бы быть получены и без них.
3. Актуализация опорных знаний.
- Устный счет
- Записать только ответы:
- 1) -12-18
- 2) -20+10
- 3) Найти модуль -6
- 4) (-2)
- 5) Заменить неправильной дробью31/5
- 6) Заменить десятичной дробью 2/5
- 7) 5,2:1,3
- 8) — (а+в)
- 9) – (-а-в)
- 10) : 2
- 11) Заполнить схему (-)(-)=
- (-)(+)=
- (-)(-)=
- 12)Какие примеры мы пока еще не сможем решить? (на деление)
- Дети поочерёдно выполняют устные примеры с рациональными числами:
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.
Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−3) · (−6) = +18 = 18
- 2 · 3 = 6
Умножение отрицательных чисел: правило, примеры
Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «−».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−0,3) · 0,5 = −0,15
- 1,2 · (−7) = −8,4
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
Запомните!
- Минус на минус даёт плюс,
- Плюс на минус даёт минус.
| + · (+) = + | + · (−) = − |
| − · (−) = + | − · (+) = − |
- В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
- При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным.
- Пример.
- (−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) =
В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
- Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
- 6 · 3 · 4 · 2 · 12 · 1 = 1728
- Конечный результат умножения исходных чисел будет:
- (−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = −1728
- Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
- 0 · a = 0
- a · 0 = 0
- a · 1 = a
Примеры:
- 0 · (−3) = 0
- 0,4 · 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица «−1».
Запомните!
При умножении на «−1» число меняется на противоположное.
- В буквенном выражении это свойство можно записать:
- a · (−1) = (−1) · a = −a
- При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.
- Пример умножения отрицательных и положительных чисел.
Урок математике в 6 классе по теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел»
Урок-повторения и обобщения. Основными воспитательными задачами которого являются: воспитание любви к природе, привитие интереса к народным приметам….
При сложении двух отрицательных чисел, можно использовать понятие модуля. Тогда можно отбросить знаки чисел и сложить их модули, а сумме присвоить отрицательный знак, поскольку изначально оба числа были отрицательными.
Например, необходимо сложить числа: — 5 + (-23)=?
Отбрасываем знаки и сложим модули чисел. Получим: 5 + 23 = 28.
Теперь присвоим полученной сумме знак минус.
Ответ: -28.
Ещё примеры сложения.
-39 + (-45) = — 84
-193 + (-205) = -398
При сложении дробных чисел, можно использовать этот же метод.
Пример: -0,12 + (-3,4) = -3,52
Сложение чисел с разными знаками немного отличается от сложения чисел с одинаковыми знаками.
Рассмотрим пример: 14 + (-29) =?
Решение.
1. Отбрасываем знаки, получаем числа 14 и 29.
2. Из большего по модуля числа вычитаем меньшее: 29 — 14.
3. Перед разностью ставим знак числа, у которого больше модуль. В нашем примере – это число -29.
14 + (-29) = -15
Ответ: -15.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги — контроль • Ценные бумаги — оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит
Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика
Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством
Бытовые услуги • Телекоммуникационные компании • Доставка готовых блюд • Организация и проведение праздников • Ремонт мобильных устройств • Ателье швейные • Химчистки одежды • Сервисные центры • Фотоуслуги • Праздничные агентства
Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».
| Ч-ло | 2-ая ст-нь | 3-я ст-нь |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.
Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:
- an * am = (a)(n+m);
- an : am = (a)(n-m);
- (ab ) m=(a)(b*m).
Проверим на примерах:
23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Как видим, правила работают.
Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.
Что нужно запомнить:
A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…и т. д.
A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…и т. д.
Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.
Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.
«Умножение положительных и отрицательных чисел»
Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.
Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:
- А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
- А˃1.
Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;
- 0˂А˂1.
В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.
Например, показатель степени число π. Оно рациональное.
r1 – в этом случае равно 3;
r2 – будет равно 4.
Тогда, при А = 1, 1π = 1.
А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.
Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.
Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.
Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.
- Геометрия
- Информатика
- Математика
- Алгебра
- Алгебра и начала математического анализа
- Изобразительное искусство
- Музыка
- Испанский язык
- Английский язык
- Немецкий язык
- Французский язык