Правило вычисления предела

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Правило Лопиталя

Если выполняются следующие условия:

• пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
  или;
• функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
• производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
• и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):

Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
,

И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

+ — сложение
— — вычитание
* — умножение
/ — деление
^ — возведение в степень

и следующих функций:

• Аренда Газели или Соболя Фургон без водителя Газель-Бизнес, 1 водитель + 2 пассажира. Кузов: 3 м.длина, 2 м. высота, бутка. Объем куб. 10,5. Двигатель: УМЗ-4216 (бензин), евро-4, 106,8 […]
• Реквизиты для уплаты налогов и взносов в 2017-2018 годах Реквизиты для уплаты налогов в 2017-2018 годах являются неотъемлемой частью любого платежа. Правильно заполнить платежное поручение […]
• Порядок рассмотрения Советом Федерации принятого Государственной Думой федерального закона (статьи 103–110) С т а т ь я 103. Принятие федерального закона к рассмотрению в Совете […]
• Уголовное право. Общая часть Уголовно-правовая норма Уголовно-правовая норма — это правило поведения, установленное государством, предоставляющее участникам общественных отношений […]
• Ограничен размер неустойки за просрочку по ипотеке 24 июля вступит в силу закон, которым ограничен размер неустойки за неисполнение или ненадлежащее исполнение гражданами обязательств по […]
• Убийство с отягчающими обстоятельствами наказание В соответствии с действующим уголовным законом простое убийство (ч.1 ст.105 УК РФ) «наказывается лишением свободы на срок от шести до […]

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

Важным понятием в высшей математике является определение бесконечности. Эта неопределённость обозначается символом ∞. Когда её упоминают, то имеют в виду как бесконечно малое число, так и большое. Для записи предела функций используется знак лимита, например, lim 0k (y). В нижней части указывается аргумент со стрелочкой, обозначающей, к чему именно стремится неопределённость. Если предел известный, то он называется конечным, в ином случае — бесконечным.

Когда нельзя установить, является ограничение бесконечным или конечным, то говорят, что предела для рассматриваемой функции не существует. Это возможно, например, когда ограничение тригонометрической функции стремится к бесконечности. Существует несколько способов вычисления пределов: правило Лопиталя, формулы Тейлера, графический метод, подставление неизвестного в функцию.Указанные способы можно применять для нахождения того или иного предела, но для неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, а также вычисления отношений бесконечно малых или больших выражений лучше всего использовать закон Лопиталя. Состоит он из двух правил:

Перед доказательством следствия нужно условиться, что в выражении a будет всегда больше либо равно единице. Это возможно исходя из того, что если a будет меньше единицы, то доказывать нужно будет правило только от единицы до плюс бесконечности. Кроме этого, необходимо ввести замену вида t = 1/y. Она необходима, так как во многом облегчает сведение доказательства к теореме Лопиталя.

• Геометрия
• Информатика
• Математика
• Алгебра
• Алгебра и начала математического анализа

• Изобразительное искусство
• Музыка

• Испанский язык
• Английский язык
• Немецкий язык
• Французский язык

• Основы безопасности жизнедеятельности
• Физическая культура

• Русский язык
• Литература
• Литературное чтение

• История
• География
• Обществознание
• Экология
• Россия в мире
• Право
• Окружающий мир
• Экономика

• Технология (мальчики)
• Технология
• Технология (девочки)

• ПРЕДИСЛОВИЕ
• ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ
• 2. Определение непрерывности функции в точке «на языке приращений».
• § 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
• 2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.
• 3. Производная и дифференциал.
• 4. Односторонние и бесконечные производные.
• § 3. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
• 2. Геометрические приложения производной.
• 3. Применения производной в физических задачах. Механический смысл производной.
• § 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
• 2. Дифференцирование произведения.
• 3. Дифференцирование частного.
• § 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
• 2. Инвариантность формы записи дифференциала.
• § 6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
• 2. Дифференцирование обратной функции.
• 3. Дифференцирование обратных тригонометрических функций.
• 4. Дифференцирование показательной и логарифмической функций.
• 5. Дифференцирование гиперболических функций.
• 6. Сводка правил и формул дифференцирования.
• 7. Логарифмическое дифференцирование.
• § 7. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
• 2. Механический смысл второй производной.
• 3. Натуральная степень бинома (формула Ньютона).
• 4. Свойства производной n-го порядка.
• 5. Дифференциалы высшего порядка.
  ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
• 1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ХОДОМ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ
• 2. Экстремумы функции.
• § 2. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
• 2. Теорема 2 (теорема Ролля).
• 3. Теорема Лагранжа.
• 4. Условие постоянства функции.
• § 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
• 2. Исследование функций на экстремум с помощью первой производной.
• 3. Использование второй производной для исследования функций на экстремум.
• 4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке.
• § 4. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
• 2. Достаточные условия выпуклости.
• 3. Точки перегиба.
• § 5. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ И РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
• 2. Приближенное решение уравнений.
• § 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
• 2. Правило Лопиталя.
• § 7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
• § 8. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
• 2. Жордановы кривые.
• 3. Связь между различными видами уравнений линий.
• 4. Дифференцирование параметрически заданных функций.
• 5. Полярное уравнение кривой.
• 6. Производная второго порядка для параметрически заданной функции.
• 7. Построение кривых, заданных параметрическими уравнениями.
• 8. Построение кривых, заданных полярными уравнениями.
• ОТВЕТЫ

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Теперь перейдем к примерам.

Найти предел по правилу Лопиталя:

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Если = 0, то , если последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

Если = ∞, то , если последний существует.

3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

Пример 2. Здесь ∞/∞

В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

Пример 4 Вычислить предел функции

Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

= = = =
= =

Пример 6 Решить

Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

= = = 0.

В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

Пример 7. Вычислить предел

Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

Тогда lnA = = = = 2.

Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

Решение задач по математике онлайн

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания.

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

• Правила ввода функций и констант
• Инженерный калькулятор
• Математический анализ
  • Вычислить неопределенный интеграл
  • Вычислить определенный интеграл
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить производную
  • Вычислить предел функции
  • Вычислить сумму ряда
• Операции с матрицами
  • Найти определитель матрицы
  • Найти обратную матрицу
• Решение уравнений онлайн
  • Решение дифференциальных уравнений
  • Решение квадратных уравнений
  • Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
  • Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
  • Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
  • Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
• Аналитическая геометрия
  • Уравнение прямой по двум точкам
  • Уравнение плоскости по трем точкам
  • Расстояние между точкой и прямой
  • Расстояние между точкой и плоскостью
• Действия с векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Векторное произведение векторов
  • Смешанное произведение векторов
  • Проверить, образуют ли вектора базис
  • Разложить вектор по базису
• Графические построения
  • Построить график онлайн

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

Пределы правила вычисления примеры

• Предел функций

  Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.

  презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014

• Второй замечательный предел

  Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.

  презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014

• Предел функции

  Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.

  презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014

• Линейные уравнения и матрицы, их расчет

  Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.

  контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012

• Применение производной при нахождении предела

  Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.

  курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009

• Математические последовательности. Предел функции

  Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.

  контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010

• Применение производной к решению задач

  Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.

  курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014

• Теорема о пределах

  Основные свойства функций, для которых существуют пределы. Понятие бесконечно малых величин и их суммы. Предел алгебраической суммы, разности и произведения конечного числа функций. Предел частного двух функций. Нахождение предела сложной функции.

  презентация [83,4 K], добавлен 21.09.2013

• Исследование функций одной переменной, построение графиков, вычисление пределов, производных, неопределенных и определенных интегралов, суммирование числовых рядов с применением пакетов прикладных программ

  Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.

  курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013

• Контрольная работа по математике

  Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.

  контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Видим, что получилась неопределенность $ frac<0> <0>$, если подставить вместо иксов точку $ x = -1 $, а это первый сигнал о том, что необходимо применить формулу для вычисления предела. Используем её:

Снова попробуем вычислить предел подставив $ x=-1 $ в последний предел, получаем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Решение проводим стандартно, подставляя икс.

Подведем итог: Правило Лопиталя – это способ и метод благодаря которому можно раскрывать неопределенности вида $ frac<0> <0>$ и $ frac $ при вычислении пределов. Суть его состоит в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций.

Калькулятор для решения пределов

Здесь мы приводим формулировки теорем, на которых основывается раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной ( ) точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной ( ) точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью правила Лопиталя.
⇓, ⇓, ⇓,
⇓, ⇓, ⇓.

Все примеры ⇑ Показать, что экспонента растет быстрее любой степенной функции, а логарифм – медленнее. То есть показать, что
А) ;
Б) ,
где .

Рассмотрим предел А). При . Это неопределенность вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя. Пусть
.
Находим производные. . Тогда
.
Если , то неопределенность исчезает, поскольку при . По правилу Лопиталя,
.

Если , то применяем правило Лопиталя n раз, где – целая часть числа b .
;

.
Поскольку , то . Хотя мы привыкли читать слева направо, но эту серию равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . И так далее, пока не дойдем до предела .

Теперь рассмотрим предел Б):
. Сделаем замену переменной . Тогда ; при ; .

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью правила Лопиталя:
.

Это неопределенность вида 0/0 . Находим по правилу Лопиталя.

.

Здесь, после первого применения правила мы снова получили неопределенность. Поэтому применили правило Лопиталя второй раз. Эту серию равенств нужно читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
.

Найдем значения числителя и знаменателя при :
;

.
Числитель и знаменатель равны нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, применим правило Лопиталя.

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью правила Лопиталя.
.

Здесь мы имеем неопределенность вида (+0) +0 . Преобразуем ее к виду +∞/+∞ . Для этого выполняем преобразования.
.

Находим предел в показателе степени, применяя правило Лопиталя.
.

Поскольку экспонента – непрерывная функция для всех значений аргумента, то
.